1. POLA BILANGAN

(Pertemuan ke-1)

A.Pola Bilangan 

1.Pengertian dan macam-macam Pola Bilangan
Himpunan bilangan-bilangan yang diurutkan dengan suatu aturan akan membentuk suatu barisan. Banyak barisan dapat ditunjukkan dengan pola gambar ataupun pola bilangan.

Macam-macam Pola Bilangan
Macam-macam pola bilangan di antaranya sebagai berikut.
a. Pola Bilangan Asli
Pola bilangan Asli ={1, 2, 3, 4, 5, ... }

b. Pola Bilangan Genap
Bilangan 2, 4, 6, 8, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola, disebut pola bilangan genap. Urutan pertama adalah 2, urutan kedua adalah 4, dan seterusnya. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya
Pola Bil.Genap= { 2, 4, 6, 8, 10, ... }
Pola gambar =

Pola bilangan genap = 2n, dengan n = bilangan asli
Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama = n(n + 1).

c. Pola Bilangan Ganjil
Bilangan 1, 3, 5, 7, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola, disebut pola bilangan ganjil. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua adalah 3, dan seterusnya. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya
Pola Bil. Ganjil = {1, 3, 5, 7, 9, ... }
Rumus pola Bil. ganjil = 2n - 1, n = bilangan asli

d. Pola Bilangan Persegi
Bilangan 1, 4, 9, 16, … adalah pola bilangan persegi. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua adalah 4, urutan ketiga adalah 9, dan seterusnya

Pola gambarnya=

Pola bilangan persegi   : n2, n = bilangan asli

e. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Bilangan-bilangan pada segitiga pascal memiliki suatu pola tertentu, yaitu apabila dua bilangan yang saling berdekatan dijumlahkan maka akan menghasilkan bilangan-bilangan pada baris selanjutnya, kecuali 1. 

Sedangkan hasil penjumlahan bilangan pada tiap-tiap baris segitiga pascal juga memiliki suatu pola dengan rumus 2n – 1, dengan n menunjukkan posisi baris pada segitiga pascal.
Barisan bilangan : 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....
Pola gambarnya :

Pola bilangan segitiga Pascal  : 2n-1, n = bilangan asli

Masih banyak lagi pola bilangan lainnya dalam kehidupan ini

Latihan Soal 1.1.

Kerjakan soal berikut dengan benar

1. Lengkapilah susunan bilangan di bawah ini berdasarkan pola yang ada pada tiap-tiap susunan bilangan!
   a. 2, 4, 8, 12, 20, ..., 42, ..., ...
   b. 5, 11, 8, 15, 11, 19, ..., ..., ...
   c. 99, 94, 97, 92, 95, ..., ..., 88, ...
   d. 5, 6, 9, 14, 21, ..., ..., 54, ...

2. Tentukan pola bilangan berikut!
   a. 1, 3, 5, 7, 9, ...
   b. 1, 4, 9, 16, 20, ...
   c. 2, 6, 12, 20, ...
   d. 1, 1, 2, 3, 5, 8,...   

3. Tentukan pola aturan/rumus suku ke-n dari susunan bilangan berikut!
   a. 1, 4, 7, 10, ....
   b. 2, 4, 8, 16, ....
   c. 50, 45, 40, 35,...  
   d. 81, 27, 9, 3, 1/3,...

4. Perhatikan pola berikut ! Tentukan banyak bola/segitiga pada pola ke-20

5.Perhatikan pusunan keramik lantai berikut. 

Coba kamu perhatikan susunan keramik lantai dari beberapa buah persegi yang diarsir seperti pada gambar ini. Susunan keramik persegi tersebut membentuk suatu pola tertentu. Berapakah banyak keramik persegi yang diarsir pada pola ke-10?

(Pertemuan ke-2)

B. Barisan Bilangan
Barisan adalah sejumlah bilangan yang disusun berdasarkan suatu aturan tertentu. 

Setiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebut "suku dari barisan tersebut."
Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmetika dan barisan geometri.
1. Suku Berikutnya dari Suatu Barisan Bilangan
Perhatikan barisan bilangan 3, 7, 11, 15, ....
- 3 disebut suku pertama (U₁)
- 7 disebut suku kedua (U₂)
- Bila suku pertama ditambah 4, akan diperoleh suku ke-2. Bila suku ke-2 ditambah 4, akan diperoleh suku ke-3. Bila suku ke-3 ditambah 4 akan diperoleh suku ke-4, dan seterusnya

2. Suku ke-n dari Suatu Barisan Bilangan
Suku ke-n suatu barisan dinotasikan dengan Un. U₂  berarti suku ke-1, U₂ berarti suku ke-2, dan seterusnya. Suku ke-n dari suatu barisan dapat ditentukan dengan memperhatikan pola atau aturan yang digunakan pada barisan tersebut.
Contoh soal:
Tentukan suku ke-50 barisan bilangan 1, 3, 5, 7, ....
Jawab:
Selisih antara dua suku berurutan atau beda dari barisan bilangan di atas adalah 2.
Rumus Pola bilangannya adalah 2n-1, dengan n bilangan asli. Pola bilangan tersebut selanjutnya disebut rumus suku ke-n.
Jadi, suku ke-50 adalah 2(50)-1 = 99.

3. Suku ke-n dari Suatu Barisan Bilangan dengan Beda Tidak Tetap

Jika pada suatu barisan bilangan bedanya belum tetap, maka uraikan beda tersebut hingga diperoleh beda yang tetap. Banyaknya tingkat untuk memperoleh beda yang tetap, digunakan untuk menentukan rumus suku ke-n barisan tersebut.
Jika beda yang tetap diperoleh setelah 2 tingkat, maka rumus suku ke-n -nya adalah:
    Un = an² + bn + c
Jika beda yang tetap diperoleh setelah 3 tingkat, maka rumus suku ke-n-nya adalah
    Un = an³ + bn² + cn + d

Contoh soal:
Tentukan suku ke-30 dari barisan bilangan 2, 6, 12, 20, ...!
Jawab:
Pada barisan bilangan 2, 6, 12, 30, ...., suku pertama U₁ = 2, U₂ = 6, U₃ = 12,

Karena beda tetapnya diperoleh setelah 2 tingkat, maka rumus suku ke-n, 

Un= an2+bn+c

Untuk n = 1, maka       

U1 = a (1)2 + b (1) + c = 2

           a + b + c = 2       .... (1)

U2 = a (2)2 + b (2) + c     = 6

            4a + 2b + c = 6  .... (2)

U3 = a (3)2 + b (3) + c = 12

       9a+3b+c = 12     .... (3)

Persamaan (2) – (1):
4a + 2b + c = 6
a + b + c = 2   _
3a + b = 4 ....(4)

Persamaan (3) – persamaan (2):
9a + 3b + c = 12
4a + 2b + c = 6   _
5a + b = 6 .... (5)

Persamaan (5) – persamaan (4)
5a + b = 6
3a + b = 4   _
2a = 2, maka 

  a = 1
Nilai a = 1 disubstitusikan ke persamaan (4), 

maka : 3(1) + b = 4  

                      b = 1
Nilai a = 1 dan nilai b = 1 disubstitusikan ke persamaan (1), 

maka : 1 + 1 + c =2, maka

                       c =0

Rumus suku ke-n adalah 

Un= an2+bn+c

Un= n2+n     atau 

Un= n (n + 1), n bilangan asli 

Jadi, suku ke-30 adalah 

U30 = 30 (30 + 1) = 930

Latihan Soal 1.2.
Kerjakan soal-soal berikut dengan baik!
1. Tentukan pola (rumus) dari susunan bilangan berikut!
    a. 3, 8, 13, 18, ....
    b. 1, 2, 4, 8, ....
    c. 21, 18, 15, 12, ....
    d. 27, 9, 3, 1,  ...
2. Tulislah empat suku pertama barisan bilangan berikut!
    a. Un = n + 1
    b. Un = 5n – 1
3. Tentukan rumus suku ke-n dan U10 dari barisan bilangan berikut! 

    a. 2, 5, 10, 17, 26, ....

    b. 3, 7, 14, 24, 37, ....

4. Pola yang disusun dari batang-batang korek api seperti tampak pada gambar. 

    a. Salin gambar tersebut, kemudian lanjutkan dengan dua suku berikutnya.
    b. Berdasarkan gambar tersebut, tulislah barisan bilangannya.
    c. Pola bilangan apakah yang memiliki barisan seperti itu? 

5. Dalam suatu pertemuan, setiap peserta diminta harus berjabat tangan sekali dengan peserta lain. Berapa banyak jabat tangan terjadi jika dalam pertemuan itu ada :

    a. 2 orang

    b. 3 orang

    c. 20 orang

(Pertemuan ke-3)

C. Barisan dan Deret Aritmetika

1) Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku berurutan yang sama. Selisih tersebut dinamakan beda (b)

Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan beda b maka barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., Un menjadi:

Dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan: 

Un = a + (n-1) b

Dengan : 

Un  = suku ke-n

a     = suku pertama

b     = selisih

Contoh :
1. Diketahui barisan aritmetika: 2, 5, 8, 11, .... Tentukan:
   a. suku pertama,
   b. beda,
   c. suku ke-20 dari barisan tersebut!
Jawab:
   a. suku pertama = a = 2.
   b. beda = U2 - U1 = 5 – 2 = 3 atau b = 3.

   c. Un    = a + (n – 1) b
       U20  = 2 + (20 – 1)3

               = 2 + 19 . 3
               = 2 + 57 = 59
   Jadi, suku ke-20 barisan tersebut adalah 78.

2. Tentukan suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 4 kurang dari 120!
Jawab:
   Barisan bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 120 adalah 4, 8, 12, ..., 116.
   a = b dan b = 4 sehingga:
   Un   = a + (n - 1)b
   U20 = 4 + (20 - 1)4 = 4 + 96 = 100

Jadi, suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 4 kurang dari 120 adalah 100.

3. Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ke–3 adalah 16 dan suku ke–7 adalah 46.
a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut!
b. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut!
Jawab:
Dengan menggunakan rumus suku ke-n, Un = a + (n – 1)b diperoleh
a. U3 = 16 maka a + 2b = 16 ... (1)

    U7 = 44 maka a + 6b = 44 ... (2)

Dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
a + 6b= 44
a + 2b= 16  _
     4b = 28
       b = 7
Substitusikan b = 7 ke persamaan (1), diperoleh:
a + 2b  = 16
a + 2.7 = 16
a + 14  = 16

a          = 16-14

a          = 2
Jadi, barisan tersebut mempunyai suku pertama a = 2 dan beda b = 7.

b. Berdasarkan hasil (a) diperoleh:
Un = a + (n – 1)b
= 2 + (n – 1)7
= 2 + 7n – 7
= 7n – 5
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 7n – 5.

2) Deret Aritmetika

Deret aritmetika ialah jumlah semua suku-suku pada barisan aritmetika
Perhatikan deret berikut!
1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... + Un
Deret ini dinamakan deret aritmetika naik, karena nilai U semakin besar.