1. BILANGAN BULAT DAN PECAHAN

Dalam catatan sejarah pernah terjadi hari terpanas dan hari terdingin. Hari terpanas terjadi pada tanggal 8 Juli 2003 saat suhu di kota Dahran, Arab Saudi mencapai 81oC. Sedangkan hari terdingin dengan suhu terendah berada di Plateau Antartika Timur, tepatnya punggung bukit es antara Dome Argus dan Dome Fuji dengan suhu terendah mencapai -93oC.

Angka-angka yang menunjukkan suhu itu merupakan bentuk penerapan dari bilangan bulat. Selain bilangan bulat, pada bab ini kita juga akan membahas tentang bilangan pecahan.

(Pertemuan ke-1)

A. BILANGAN BULAT

1.Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif. Secara garis bilangan dapat digambarkan sebagai berikut :

 

Himpunan bilangan bulat dituliskan B = {…¸-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
Beberapa himpunan yang ada di dalam bilangan bulat : 

a. Bilangan asli dituliskan: A = {1,2,3,4,...}
b. Bilangan cacah dituliskan: C = {0,1,2,3,4,...}
c. Bilangan prima = { 2,3,5,7,11, …. }
d. Bilangan kelipatan 3 = { 0,3,6,9,12, …}
e. Bilangan komposit/tersusun = {.4,6,8,9,10,12,…}

2. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat
Perhatikan garis bilangan berikut!

Pada garis bilangan, semakin ke kanan letak suatu bilangan, nilainya semakin 
besar. Sebaliknya, semakin ke kiri letak suatu bilangan, nilainya semakin kecil.
Contoh:
2 Iebih dari -3 (ditulis 2 > -3) atau
-3 kurang dari 2 (ditulis -3 < 2).
Mengurutkan beberapa bilangan bulat pada prinsipnya menuliskan bilangan bulat secara urut dari yang nilainya terbesar atau dari yang nilainya terkecil.

3. Lawan Suatu Bilangan Bulat
Setiap bilangan bulat mempunyai lawan.
a. Lawan bilangan a adalah bilangan -a.
b. Lawan bilangan -a adalah bilangan a.

1 merupakan lawan dan -1 atau 1 Iawannya -1, -5 lawan dari 5 atau 5 Iawannya -5
Contoh :
Urutkan bilangan-bilangan dari terbesar: -10, 0, 5, -9
Maka, urutannya adalah 5, 0, -5 dan -9.

Latihan Soal 1.1
Kerjakanlah soal-soal berikut dengan benar 

1. Urutkan bilangan-bilangan berikut dari yang paling besar!
    a. -9, 5, 13, 0, -4, -11, 6
    b. 3, -7, -2, 1, -10, -5, 8
2. Suhu udara didalam kulkas -3oC, sedangkan suhu udara diluar kulkas 31oC. Berapa selisih suhu didalam dan diluar kulkas?   

3. Bandingkan bilangan mana yang lebih besar antara 31023 dengan bilangan 50988! 

4. Bilangan A dan B adalah bilangan bulat positif yang sama-sama tersusun dari 3 angka. Bagaimana langkah untuk menentukan bilangan yang lebih kecil? 

5. Diketahui bilangan P, Q, dan bilangan R.
    Bilangan P = 34qr
    Bilangan Q = 7pqrs
    Bilangan R = 9prs
Jika setiap huruf pada bilangan tersebut mewakili suatu angka, urutkan bilangan tersebut dari yang terbesar?

(Pertemuan ke-2)
4. Operasi Hitung Bilangan Bulat
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat (Pertemuan ke-2)
a. Penjumlahan Bilangan Bulat
Hasil dari 3+ (-5) = …
Perhatikan garis bilangan berikut!

Garis bilangan di atas menunjukkan 3+ (-5) = -2
Cara menggambarnya diawali dari 0. Jika bilangan positif berarti kearah kanan dan bilangan negative kearah kiri Contoh:
-8 + 10 = 2
-5 + (-10) = -(5 + 10) = - 15

Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat
1. Sifat tertutup (hasil penjumlahan dua bilangan bulat selalu bilangan bulat) 

 Contoh:
8 + (-4) = 4, dan 4 adalah bilangan bulat juga
-20 + 5 = -15, dan -15 adalah bilangan bulat juga
2. Sifat Komutatif/Pertukaran atau a + b = b + a
Contoh:
12 + (-3) = -3 + 12
-15 + 7 = 7 + -15
3. Sifat Assosiatif/Pengelompokan atau (a + b) + c = a + ( b + c)
Contoh:
7 + ((-2) + 4) = (7 + (-2)) + 4
-12 + 9 + 2 = (-12 + 9 ) + 2
4. Unsur identitas pada penjumlahan adalah 0 atau a + 0 = 0 + a = a
Contoh:
8 + 0 = 8
-6 + 0 =-6
Hasil penjumlahan suatu bilangan dengan 0, maka hasilnya bilangan itu sendiri.
0 disebut unsur identitas (netral) pada penjumlahan.
5. Mempunyai invers/lawan
Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut.
Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah jika hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0).
Contoh:
3 + (-3) = 0 (invers dari 3 adalah -3)

b. Pengurangan Bilangan Bulat
Menentukan hasil pengurangan bilangan bulat digunakan prinsip bahwa :
“mengurangi dengan suatu bilangan sama dengan menambah dengan lawan dari bilangan itu”.a – b = a + (-b)
Contoh:
–10 – 5 = –10 + (–5) = –15
8 – (–2)= 8 + 2 = 10

Sifat-sifat operasi pengurangan bilangan bulat
1. Sifat tertutup (hasil pengurangan dua bilangan bulat selalu bilangan bulat) 

Contoh:
8 - (-4) = 8 + 4 = 12, dan 12 adalah bilangan bulat juga
-20 - 5 = -20 + (-5) = -25, dan -25 adalah bilangan bulat juga
2. Tidak bersifat Komutatif/Pertukaran atau a + b ≠ b + a 

Contoh:
12 - (-3) ≠ -3 - 12
-15 - 7 ≠ 7 - (-15)
3. Tidak bersifat Assosiatif/Pengelompokan atau 

(a + b) + c ≠ a + ( b + c)
4. Unsur identitas pada pengurangan adalah 0 atau a - 0 = a Contoh:
8 - 0 = 8
-6 - 0 =-6
Hasil pengurangan bilangan dengan 0, maka hasilnya bilangan itu sendiri.
0 disebut unsur identitas (netral) pada pengurangan.

c. Perkalian Bilangan Bulat
Perkalian bilangan a dan b adalah penjumlahan berulang bilangan b sebanyak a suku,
a x b = b + b + b + ... + b. (sebanyak a)
Contoh:
3 x 7 = 7 + 7 + 7 = 21
4 x (-5) = (-5) + (-5) + (-5) +(-5) = -20

Menentukan hasil perkalian bilangan bulat
Perkalian pada bilangan bulat ditentukan berdasarkan tanda dari bilangan-bilangan tersebut, yaitu sebagai berikut.
a) (+) × (+) = (+)
    Contoh: 11 × 10 = 110
b) (+) × (–) = (–)
    Contoh: 20 × (–4) = –80
c) (–) × (+) = (–)
    Contoh: –12 × 5 = –60
d) (–) × (–) = (+)
    Contoh: –30 × (–5) = 150

Sifat-sifat operasi Perkalian bilangan bulat
1. Sifat tertutup (hasil Perkalian dua bilangan bulat selalu bilangan bulat)
    Contoh:
    8 x (-4) = -32, dan -32 adalah bilangan bulat juga
    -20 x (-5) = 100, dan 100 adalah bilangan bulat juga
2. Sifat Komutatif/Pertukaran atau a x b = b x a
    Contoh:
    12 x (-3) = -3 x 12
    -15 x 7 = 7 x -15
3. Sifat Assosiatif/Pengelompokan atau (a x b) x c = a x ( b x c)
    Contoh:
    7 x ((-2) x 4) = (7 x (-2)) x 4
    -12 x 9 x 2 = (-12 x 9 ) x 2
4. Unsur identitas pada penjumlahan adalah 1 atau a x 0 = 0 x a = a
    Contoh:
    8 x 1 = 8
    -6 x 1 =-6
    Hasil perkalian suatu bilangan dengan 1, maka hasilnya bilangan itu sendiri.
    1 disebut unsur identitas (netral) pada perkalian.
5. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan penjumlahan
    Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c berlaku:
    a(b + c) = ab + ac
    a(b - c) = ab - ac
    Contoh:
   -2 (7 + 4) = (-2x7) + (-2x4)
    4 (2 - 8)  = (4x2) - (4x8)

d. Pembagian Bilangan Bulat
Pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai
    a : b = c,
jika a, b, dan c bilangan bulat dengan b faktor a dan b ≠ 0,

    maka berlaku a = b × c.

    Contoh:
    –10 : 5 = -2, karena 5 x -2 = -10
    8 : 2= 4, karena 2 x 4 = 8

Sifat-sifat operasi Pembagian bilangan bulat
1. Tidak bersifat tertutup (hasil pembagian dua bilangan bulat hasinnya tidak selalu bilangan bulat)
    Contoh:
    10 : 5 = 2
    -2 : 12 = - 1/6 ( hasilnya tidak bilangan bulat)
2. Tidak Komutatif, karena a : b ≠ b : a
3. Tidak Assosiatif, karena (a : b) : c ≠ a : ( b : c)
4. Unsur Identitasnya = 1, karena :
    12 : 1 = 12
    -10 : 1 = -10

Latihan Soal 1.2.
1. Tentukan hasilnya :

    a. -10+3 

    b. -7 + (-12)
2. Tulislah dalam bentuk penjumlahan bilangan bulat, kemudian tentukan hasilnya.
    a. Suhu awal kamar Denis 30oC, kemudian turun 3oC 

    b. Suhu awal sebuah kompor 500oC, kemudian bertambah panas 80oC 

3. Tiga ekor ikan hias berada di dalam akuarium. Ikan A berada 10 cm di bawah permukaan air dan ikan B berada 15 cm dibawah permukaan air, dan ikan C berada 5 cm diatas dasar akuarium. Jika tinggi air akuarium 40 cm, berapa perbedaan jarak :

    a. ikan A dan B

    b. ikan B dan C 
4. Sebutkan sifat-sifat operasi perkalian dan pembagian, lengkapi dengan contohnya 
5. Hitung hasil operasi campuran :

    a. 4+7-8+(-9) 

    b. 12+2 - (-4) 

6. Tentukan hasil perkalian berikut.
    a. -18 x (-15)  
    b. -7 x (-14) x (-8) 
7. Tentukan hasil pembagian berikut.
    a. -162 : (-6) : 3
    b. 240 : (-40 : (-8))
8. Tentukan hasil operasi hitung berikut!
    a. 8 × (–40 : (3 + 5)) 

    b. 150 : ((16 – 6) × (–5)) 

9. Ade mengikuti lomba matematika. Panitia membuat aturan lomba : setiap jawaban benar diberi skor 4. jawaban salah diberi skor -2 dan soal tidak dijawab diberi skor -1. Tentukan nilai Ade, jika dari 100 soal Ade bisa menjawab 52 soal dengan benar dan 7 soal tidak dijawab?  

10. Dalam sebuah kompetisi matematika, peserta mendapat skor 4 jika menjawab benar, -1 jika menjawab salah, dan 0 jika tidak dijawab. Dari 40 soal yang diberikan Dharta berhasil menjawab 20 soal dengan benar dan mendapat skor 72. Berapa banyaknya soal yang tidak dijawab oleh Dharta?

(Pertemuan ke-3)

5. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

a.Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan 3= 3,6,9,12,15, ...

Kelipatan 4= 4,8,12,16,20, ...

Kelipatan 6= 6,12,18,24,30, ... 

Cara menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

1).Dengan menyebutkan semua kelipatannya.

   Contoh :
   Tentukan KPK dari 12 dan 30
   Jawab :
   Kelipatan 12 = 12,24,36,48,60,72,84, ...
   Kelipatan 30 = 30,60,90,120 ...
   Kelipatan persekutuan 12 dan 30 = 60,120,180,240 ...
   Jadi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 12 dan 30 = 60

2).Dengan Faktorisasi Prima

   Contoh :
   Tentukan KPK dari 12 dan 30
   Jawab :

   Buat Pohon faktor dua bilangan tersebut

Faktor dari 12 = 2² x 3

Faktor dari 30 = 2 x 3 x 5.
Jadi KPK adalah Perkalian Semua Faktor dan Pangkat Terbesar
KPK dari 12 dan 30 

= 2² x 3 x 5 
= 4 x 15
= 60

3).Dengan Pembagian Bersusun

Tentukan KPK dari 12, 20 dan 30.
Jawab :
Susun bilangannya ke kanan dan dibagi ketiganya sampai tidak hasilnya 1 semua

Sehingga KPK 12, 20 dan 30 adalah 2 x 3 x 5 x 2 = 60

b.Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika a membagi habis b. Dengan kata lain dapat ditulis b = a × n, dengan n adalah suatu bilangan bulat.
Daftarlah faktor-faktor positif dari bilangan berikut!
Faktor positif dari 8 adalah 1, 2, 4, 8. 

Faktor positif dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12. 
Sehingga Faktor Persekutuan 8 dan 12 adalah 1, 2, 4 (yang sama)

Cara menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

1).Dengan menyebutkan semua kelipatannya.

   Contoh : 
   Tentukan FPB dari 12 dan 30 
   Jawab : 
   Faktor 12 = 1,2,3,4,6,12
   Faktor 30 = 1,2,3,5,6,15,30
   Faktor persekutuan 12 dan 30 = 1,2,3,6
   Jadi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 12 dan 30 = 6

2).Dengan Faktorisasi Prima

   Contoh : 
   Tentukan FPB dari 12 dan 30 
   Jawab :

   Buat Pohon faktor dua bilangan tersebut

Faktor dari 12 = 2² x 3

Faktor dari 30 = 2 x 3 x 5. 
Jadi FPB adalah Perkalian Semua Faktor yang sama dan Pangkat Terkecil
FPB dari 12 dan 30 

= 2 x 3
= 6

3).Dengan Pembagian Bersusun

Tentukan FPB dari 12, 20 dan 30. 
Jawab : 
Susun bilangannya ke kanan dan dibagi ketiganya sampai tidak hasilnya 1 semua

Sehingga FPB 12, 20 dan 30 adalah Perkalian pembagi yang habis membagi semua bilangan. 2 x 3 = 6

Latihan Soal 1.3.
1.Tentukan KPK dari 

   a. 12 dan 20
   b. 16, 20 dan 30

2. Tentukan FPB dari
   a. 16 dan 24 
   b. 12, 24 dan 30

3.Ibu Ade akan membagi 32 jeruk dan 56 salak kepada beberapa anak sehingga setiap anak mendapat bagian sama banyaknya. 

a. berapa anak yang mendapat bagian tersebut?
b. berapa masing-masing mendapat jeruk dan salak? 

4. Tiga orang penjaga malam bertugas setiap 3 hari, 5 hari, dan 7 hari sekali. Pada tanggal 24 Februari 2020 mereka bertugas bersama-sama. Kapan mereka akan bertugas bersama-sama lagi?

5. Tanggal 17 Agustus 2020 adalah hari Senin. Tentukan hari apa yang bertepatan dengan tanggal 17 Agustus 1920.