MATEMATIKA SMP: Bentuk Akar

(Pertemuan ke-3)

C. Bentuk Akar (Bilangan Berangkat Pecahan)

1. Bilangan Real

Kita telah mempelajari tentang bilangan rasional. Sekarang coba kalian amati bilangan $\sqrt{2}$ . Dengan menggunakan kalkulator, akan diperoleh nilai $\sqrt{2}$ = 1,414213562.... Apakah bilangan tersebut merupakan bilangan rasional?. Ternyata bukan bilangan rasional. $\sqrt{2}$ merupakan bilangan irasional.

Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional merupakan himpunan bilangan real.

2. Pengertian Bentuk Akar (Bilangan Berpangkat Pecahan)

Misalkan a dan b bilangan riil, n bilangan positif, maka :

bn = a, maka b = $\sqrt[n]{a}$

Ilustrasi bentuk pangkat pecahan :

8n = 2

23n = 21 , maka :

3n = 1

n = 1/3

Sehingga $8^{\frac{1}{3}}= 2$

Sifat Bilangan Bentuk Akar.

Jika m, n, p dan q adalah bilangan bulat, maka :

1. $p^{\frac{1}{m}}= \sqrt[m]{p}$
2. $p^{\frac{n}{m}}= \sqrt[m]{p^n}$
3. $\sqrt[m]{pq}=\sqrt[m]{p}\times \sqrt[m]{q}$
4. $\sqrt[m]{\frac{p}{q}} = \frac{\sqrt[m]{p}}{\sqrt[m]{q}}$
5. $m\sqrt{p}+n\sqrt{p}=(m+n)\sqrt{p}$
6. $m\sqrt{p}\times n\sqrt{q}=mn\sqrt{pq}$
7. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{p}}=\sqrt[mn]{p}$

3. Menyederhanakan bentuk akar
Beberapa bentuk akar dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.
Contoh :

$\sqrt{8} = \sqrt{4\times 2} = \sqrt{4}\times\sqrt{2}=2 \sqrt{2}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16\times 3} = \sqrt{16}\times\sqrt{3}=4 \sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25\times 3} = \sqrt{25}\times\sqrt{3}=5 \sqrt{3}$

4. Operasi Bentuk Akar

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dilakukan jika bentuk akarnya sejenis.

$a\sqrt[n]{c} \pm b\sqrt[n]{c} = (a \pm b)\sqrt[n]{c}$

Contoh :

Sederhanakan $7\sqrt{2} - 2\sqrt{27} + 2\sqrt{50} = ...$

Jawab :

= $7\sqrt{2} - 2\sqrt{27} + 2\sqrt{50} = ...$

$= 7\sqrt{2} - 2\sqrt{9\times 3}+ 2\sqrt{25\times 2}$

$= 7\sqrt{2} - 2\times 3\sqrt{3}+ 2\times5\sqrt{2}$

$= 7\sqrt{2}+ 10\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$

$= 17\sqrt{2}- 6\sqrt{3}$

b. Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Operasi perkalian bentuk akar dilakukan dengan mengalikan bilangan-bilangan di bawah tanda akar dan dengan mengalikan koefisien-koefisiennya